相向而行相遇问题公式

问题描述

相向而行相遇问题是一个经典的物理问题，如何求出两个速度不同的物体相向而行相遇的时间和路程是一个基本的问题。例如，两列列车在不同的铁路上向相反的方向行驶，求它们相遇的时间和路程。

问题分析

首先，设两列列车在同一时刻开始行驶，并分别设它们的速度为 $v_1$ 和 $v_2$，则相对速度为 $v=v_1+v_2$。设两列列车相遇的时间为 $t$，则根据相遇的定义，两列列车共同行驶的距离为 $d=(v_1+v_2)t$。又根据路程的定义，有 $d=v_1t+v_2t$。于是，解出时间，可得 $$ t=\\frac{d}{v_1+v_2} $$ 其中，$v_1$ 和 $v_2$ 分别为两列列车的速度，$d$ 为它们相向而行相遇的路程。

应用示例

【例1】两列火车从相距 $600$ 千米的两个城市相向而行，第一列火车的速度为 $80$ 千米/小时，第二列火车的速度为 $100$ 千米/小时，求它们相遇的时间和相遇点距第一个城市的距离。 【解】设它们相遇的时间为 $t$，相遇点距第一个城市的距离为 $x$，则有 $d_1=80t$，$d_2=100t$，$d_1+d_2=600$。代入公式可得 $$ t=\\frac{d_1+d_2}{v_1+v_2}=\\frac{600}{80+100}=3\ext{小时} $$ $$ x=d_1=80t=240\ext{千米} $$ 因此，它们相遇的时间为 $3$ 小时，相遇点距第一个城市的距离为 $240$ 千米。 【例2】两个人在一个 $200$ 米长的跑道上相向而行，甲的速度为 $5$ 米/秒，乙的速度为 $7$ 米/秒，当两人相遇的瞬间，他们相互之间的距离是多少？ 【解】设他们相互之间的距离为 $x$，则有 $x=200$ 米。根据相向而行相遇的定义，两人共同行驶的距离为 $200+x$ 米，相对速度为 $5+7=12$ 米/秒。根据相向而行相遇问题公式可得 $$ t=\\frac{200+x}{12} $$ 代入 $x=200$ 可得 $t=25$ 秒。因此，他们相遇的瞬间，他们相互之间的距离为 $200$ 米。

总结

相向而行相遇问题是一种经典的物理问题，其解决方法也非常简单。只需设定相遇时间和路程，利用路程的定义和相对速度的概念，就可以推导出相向而行相遇问题的公式。在应用时，只需根据实际情况代入公式求解即可。