棱台体积计算例题

问题介绍

小明在学习几何学时遇到了一个问题，他需要求解下图中的棱台体积。求帮助解决这个问题。

问题分析

要求解这个问题，我们可以按照以下步骤进行分析和计算： 1. 计算棱台底面的面积。 2. 计算棱台高度。 3. 利用公式计算棱台体积。

计算棱台底面的面积

我们可以看到，棱台底面是一个正方形，且已知其边长为6cm。因此，棱台底面的面积可以用公式 $S = a^2$ 来计算，其中 $a$ 是正方形的边长。代入数字，我们有： $$S = 6^2 = 36 (\ext{cm}^2)$$ 因此，棱台底面的面积是 $36 \ext{cm}^2$。

计算棱台高度

我们注意到，该棱台的侧棱长为8cm，而其顶面的边长为10cm。可以通过勾股定理来求解棱台高度。具体而言，我们可以将棱台放置在一个三维坐标系中，其底面居于 $xz$ 平面，根据勾股定理可以得到： $$h^2 = 8^2 - \\left(\\frac{10-6}{2}\\right)^2 = 56$$ 解得： $$h = \\sqrt{56} = 2\\sqrt{14} (\ext{cm})$$ 因此，该棱台的高度是 $2\\sqrt{14}$ cm。

计算棱台体积

有了棱台底面的面积和棱台的高度，我们可以直接用公式计算棱台的体积。具体而言，棱台体积的公式是： $$V = \\frac{1}{3}Sh$$ 其中 $S$ 是底面积，$h$ 是棱台高度。代入已知数字，我们有： $$V = \\frac{1}{3} \imes 36 \imes 2\\sqrt{14} = 24\\sqrt{14} \\approx 91.23 (\ext{cm}^3)$$ 因此，棱台的体积约为 $91.23 \ext{cm}^3$。

总结

本题主要考察了应用几何学的一些基本公式，包括正方形面积、棱台体积等。具体而言，求解棱台体积的基本步骤： 1. 计算棱台底面的面积。 2. 计算棱台高度。 3. 利用公式计算棱台体积。 需要注意的是，在具体计算时需要谨慎，化简中间结果，保留合适的精度，避免出现误差。