探究菱形面积计算公式的两种方法
一、纯几何推导法
在二维平面直角坐标系中，以菱形重心为原点建立坐标系，设菱形的顶点坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$，则由向量叉乘公式可得菱形面积公式：
$S=\\frac{1}{2}|\\vec{AC}\imes\\vec{BD}|=\\frac{1}{2}|\\begin{pmatrix}x_1-x_3\\\\y_1-y_3\\end{pmatrix}\imes\\begin{pmatrix}x_2-x_4\\\\y_2-y_4\\end{pmatrix}|$
经过向量乘法和求模，可以简化为：
$S=\\frac{1}{2}|(x_1-x_3)(y_2-y_4)-(x_2-x_4)(y_1-y_3)|$
二、向量法
同样以菱形重心为原点建立坐标系，设菱形的顶点坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$，则可以将菱形拆分成两个三角形，计算两个三角形面积后相加，即可得到菱形面积。
以$\\vec{AB}$和$\\vec{AD}$为向量，分别表示一个三角形的两个边向量，则该三角形面积为：
$S_{\riangle ABD}=\\frac{1}{2}|\\vec{AB}\imes\\vec{AD}|$
同理，以$\\vec{CB}$和$\\vec{CD}$为向量，表示另一个三角形的两个边向量，该三角形面积为：
$S_{\riangle CBD}=\\frac{1}{2}|\\vec{CB}\imes\\vec{CD}|$
将两个三角形面积相加，得到菱形面积：
$S=S_{\riangle ABD}+S_{\riangle CBD}=\\frac{1}{2}|\\vec{AB}\imes\\vec{AD}|+\\frac{1}{2}|\\vec{CB}\imes\\vec{CD}|$
进一步展开，可以得到：
$S=\\frac{1}{2}|(x_1-x_2)(y_1-y_4)-(x_1-x_4)(y_1-y_2)|(x_3-x_4)(y_1-y_4)-(x_1-x_4)(y_3-y_4)|$
三、比较两种方法
纯几何推导法和向量法都可以正确计算出菱形面积，但两者的思路略有不同。前者更加简洁明了，利用向量叉乘公式直接得到面积公式，适合在平面几何问题中应用。后者则利用向量相加可以拆分出多个三角形，将复杂的菱形分解为简单的三角形求解，适合在向量运算中应用。
