解答教育统计学课后题第二版

第一部分：概率分布

问题一

设$p$为成功的概率，$n$为试验次数，$X$为试验成功的次数，根据二项分布，$X$服从二项分布$B(n,p)$。则期望为$E(X)=np$，方差为$Var(X)=np(1-p)$。所以，题目中的两种情况期望和方差如下： 情况一：$E(X)=20\imes0.02=0.4$，$Var(X)=20\imes0.02\imes(1-0.02)=0.392$。 情况二：$E(X)=100\imes0.02=2$，$Var(X)=100\imes0.02\imes(1-0.02)=1.96$。

问题二

根据泊松分布的定义，设$X$表示在时间$t$内事件发生次数，$E(X)=\\lambda t$，$Var(X)=\\lambda t$。所以题目中的两种情况期望和方差如下： 情况一：$E(X)=10\imes0.5=5$，$Var(X)=10\imes0.5=5$。 情况二：$E(X)=200\imes0.5=100$，$Var(X)=200\imes0.5=100$。

第二部分：假设检验

问题三

假设有两个班级，班级一和班级二，我们想检验班级一的平均分是否显著高于班级二。设$\\mu_1$表示班级一的平均分，$\\mu_2$表示班级二的平均分，$H_0:\\mu_1-\\mu_2=0$，$H_1:\\mu_1-\\mu_2>0$。根据题意，样本量大于等于30，可以使用正态分布进行检验。 1.计算班级一和班级二样本的平均数和标准差。 2.计算统计量$Z=\\dfrac{(\\bar{X_1}-\\bar{X_2})-(\\mu_1-\\mu_2)}{\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}}$，其中$\\bar{X_1}$和$\\bar{X_2}$分别为班级一和班级二样本的平均分，$\\sigma_1$和$\\sigma_2$分别为班级一和班级二样本的标准差，$n_1$和$n_2$分别为班级一和班级二样本的容量。 3.根据$\\alpha$和自由度计算临界值$Z_c$。 4.比较统计量$Z$和临界值$Z_c$，如果$Z>Z_c$，则拒绝原假设$H_0$，接受备择假设$H_1$，认为班级一的平均分显著高于班级二；如果$Z\\leq Z_c$，则接受原假设$H_0$，认为班级一的平均分与班级二无显著差异。

问题四

假设有一个班级，我们想检验这个班级的平均分是否显著高于全校平均分。设$\\mu$表示全校平均分，$\\bar{X}$表示班级平均分，$H_0:\\mu=\\bar{X}$，$H_1:\\mu>\\bar{X}$。根据题意，样本量小于30且总体方差未知，可以使用$t$分布进行检验。 1.计算班级样本的平均数和标准差。 2.计算统计量$t=\\dfrac{\\bar{X}-\\mu}{s/\\sqrt{n}}$，其中$s$为样本标准差，$n$为样本容量。 3.根据$\\alpha$和自由度计算临界值$t_c$。 4.比较统计量$t$和临界值$t_c$，如果$t>t_c$，则拒绝原假设$H_0$，接受备择假设$H_1$，认为班级的平均分显著高于全校平均分；如果$t\\leq t_c$，则接受原假设$H_0$，认为班级的平均分与全校平均分无显著差异。

第三部分：回归分析

问题五

假设有两个自变量$X_1$和$X_2$，一个因变量$Y$，我们想建立一个多元线性回归模型。根据题意，应该先对自变量进行标准化处理，使得各个自变量指标在同一量级上，从而避免模型出现指标之间因量级不同而出现的偏向。 1.对自变量$X_1$和$X_2$进行标准化处理，计算标准分数$Z_1$和$Z_2$。 2.建立回归方程$Y=\\beta_0+\\beta_1Z_1+\\beta_2Z_2+e$，其中$\\beta_0$为截距，$\\beta_1$和$\\beta_2$为回归系数，$e$为误差。 3.使用样本数据估计回归系数$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2$和误差$e$，可以使用最小二乘法求解。 4.检验方程的显著性和拟合优度，可以使用$F$检验和$R^2$检验。

问题六

假设有两个自变量$X_1$和$X_2$，一个因变量$Y$，我们想进行回归分析。根据题意，应该先进行特征筛选，筛选出对应变量与因变量具有显著相关性的自变量。 1.使用皮尔逊相关系数或者斯皮尔曼相关系数计算自变量$X_1$和$X_2$与因变量$Y$之间的相关性。 2.根据相关系数的大小和显著性，选出与因变量$Y$相关性较强的自变量，这些变量可以作为回归模型的自变量。 3.对选出的自变量进行进一步的分析，包括某个自变量是否对另一个自变量产生多重共线性等。 4.建立回归模型，并对模型进行检验。