探析收敛半径an

什么是收敛半径an

收敛半径an是指幂级数$\\sum\\limits_{n=0}^{\\infty}a_n(x-x_0)^n$在$x=x_0$处收敛的最大半径。即当$\\left|x-x_0\\right|an$时，幂级数发散。 $h=\\limsup \\left| a_n \\right|^{1/n}$称为级数的广义收敛半径。如果$h=0$，则幂级数的半径为$0$，此时幂级数只有常数项；如果$h=+\\infty$，则幂级数的半径为$+\\infty$，此时幂级数的收敛区间为整个实数轴。

计算收敛半径an的方法

我们可以用根值法来计算幂级数的收敛半径an。具体地，根值法就是求出$\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| a_n \\right|^{1/n}$或者$\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\dfrac{ \\left| a_{n+1} \\right|}{\\left|a_n\\right|}$，如果这个极限存在，就称之为幂级数的收敛半径an，否则极限不存在。我们来看一个例子： $$\\sum_{n=1}^{\\infty }\\dfrac{x^{n}}{n!}$$ 用根值法来计算幂级数的收敛半径an。设$h=\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| \\dfrac{1}{n!} \\right|^{1/n}$，则$$\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| \\dfrac{x^{n}}{n!} \\right|^{1/n}=|x|h$$ 当$|x|<\\dfrac{1}{h}$时，$\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| \\dfrac{x^{n}}{n!} \\right|^{1/n}=|x|h<1$，幂级数收敛；当$|x|>\\dfrac{1}{h}$时，$\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| \\dfrac{x^{n}}{n!} \\right|^{1/n}=|x|h>1$，幂级数发散；当$|x|=\\dfrac{1}{h}$时，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独讨论。因此，幂级数的收敛半径an为$h$，即$$an=\\dfrac{1}{\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\left| \\dfrac{1}{n!} \\right|^{1/n}}=\\lim \\limits_{n \o \\infty } \\dfrac{n^{1/n}}{e}=\\dfrac{1}{e}$$

收敛半径an的应用

收敛半径an在数学中有广泛应用。首先，它是判断幂级数收敛和发散的重要工具。幂级数的收敛半径an为$0$或$+\\infty$，则幂级数分别只有常数项或者在整个实数轴上收敛。其次，设$f(x)=\\sum\\limits_{n=0}^{\\infty}a_n(x-x_0)^n$在$x\\in(x_1,x_2)$内具有一阶导数，则在该区间内$f(x)$的和函数$S(x)=\\sum\\limits_{n=0}^{\\infty}a_n(x-x_0)^n$的导数为$f^{\\prime}(x)$。因此，幂级数的收敛半径an可以用来确定幂级数的和函数的可导性。再者，幂级数的收敛半径an还可以用来对函数进行泰勒展开。泰勒公式就是将函数表示为幂级数的形式，可以用来简化函数的计算。当然，泰勒公式的使用前提是函数在展开点附近有足够高阶的导数存在。