线性代数与空间解析几何课后答案
矩阵与行列式
1. 解线性方程组：
给定线性方程组： $$ \\begin{cases} 2x+3y-5z=1 \\\\ x-2y+3z=6 \\\\ x-2y+5z=4 \\end{cases} $$ 其增广矩阵为： $$ \\left[ \\begin{matrix} 2 & 3 & -5 & 1 \\\\ 1 & -2 & 3 & 6 \\\\ 1 & -2 & 5 & 4 \\end{matrix} \\right] $$ 进行高斯-约旦消元得到矩阵 $$ \\left[ \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\end{matrix} \\right] $$ 因此，原方程组的解为：$x=2,y=-1,z=-1$。
2. 求矩阵的行列式：
给定矩阵：$A=\\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{matrix} \\right]$，根据定义计算得到: $$det(A)=\\left| \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{matrix} \\right|=1\imes(5\imes9-6\imes8)-2\imes(4\imes9-6\imes7)+3\imes(4\imes8-5\imes7)=-3$$ 因此，矩阵 $A$ 的行列式为 $-3$。
向量与线性方程组
1. 判断向量是否线性相关：
给定向量组 $\\{v_1,v_2,v_3\\}$，其中 $v_1=(1,2,3)^T,v_2=(2,4,6)^T,v_3=(1,1,1)^T$。将这些向量写成行向量的形式，组成矩阵 $A$，将 $A$ 进行高斯消元得到行最简矩阵 $B$，检查 $B$ 中是否有全零行。得到的矩阵为： $$ \\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{matrix} \\right]\\xrightarrow{\ext{高斯消元}} \\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{matrix} \\right] $$ 由于矩阵 $B$ 中含有全零行，故原向量组 $\\{v_1,v_2,v_3\\}$ 线性相关。
2. 求解线性方程组：
给定线性方程组： $$ \\begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0 \\\\ 2x_1+4x_2+5x_3=1 \\\\ x_1+3x_2+7x_3=2 \\end{cases} $$ 将其增广矩阵进行高斯-约旦消元得到矩阵： $$ \\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{matrix} \\right] $$ 因此，方程组的解为 $x_1=-1,x_2=1,x_3=0$。
空间解析几何
1. 判断直线是否相交：
给定直线 $l_1: \\frac{x-1}{2}=\\frac{y+1}{-1}=\\frac{z-3}{3}$ 和直线 $l_2: \\frac{x-2}{-1}=\\frac{y-3}{2}=\\frac{z+1}{1}$，因为两条直线的方向向量不共线，所以两条直线相交。
2. 求平面的法向量：
给定平面 $3x-2y+z=1$，将其表示为法向量和点向量的形式，则该平面的法向量为 $(3,-2,1)$。
3. 求直线的参数方程：
给定直线 $l$ 通过点 $A(-2,1,3)$，且平行于向量 $v=(1,2,3)^T$。直线 $l$ 的参数方程为： $$ \\begin{cases} x=-2+t \\\\ y=1+2t \\\\ z=3+3t \\end{cases} $$
总结：线性代数是研究向量空间和矩阵的一门数学学科。线性代数应用广泛，包括人工智能、计算机图形学、最优化、物理、生物学等领域。空间解析几何是研究三维空间内的直线、平面、点等图形及其间的关系的分支学科。应用广泛，包括物理、机械、建筑、电影等领域。
