离散数学左孝凌版课后答案解析

第一章 命题逻辑

练习1.1

1. $\ eg(p\\wedge q)$ = $\ eg p \\vee \ eg q$              2. $(p\\rightarrow q)\\wedge(p\\rightarrow r)$ = $p\\rightarrow(q\\wedge r)$
3. $(p\\vee q)\\rightarrow r$ = $(p\\rightarrow r)\\wedge(q\\rightarrow r)$              4. $p\\rightarrow(q\\rightarrow p)$ = $True$

练习1.2

1. $p\\rightarrow q$ = $\ eg p \\vee q$
2. $(a \\oplus b) \\oplus c$ = $a\\oplus (b\\oplus c)$
3. $p\\rightarrow(q\\rightarrow r)$ = $(p\\wedge q)\\rightarrow r$

第二章 代数系统

练习2.1

1. 对于集合$A=\\{1,2,3\\}$和$B=\\{x| x\\in Q,x^2=2\\}$，$B$是空集。
2. 对于集合$A=\\{x\\in Z|3|x\\}$和$B=\\{x\\in Z|5|x\\}$，$A\\cap B=\\{x\\in Z|15|x\\}$。
3. 对于集合$A=\\{1,2,3\\}$，定义关系$R$为$(a,b)\\in R$当且仅当$a\\leq b$，则$R^{2}=\\{(a,c)|a,c\\in A,a\\leq b\\leq c\\}$。

练习2.4

1. 运算表（以下+E表示真假之和）：
$$ \\begin{array}{c|cccc} E & F & F+E & T & T+E \\\\ \\hline F & F & T & F & T \\\\ T & T & T & T & T \\\\ \\end{array} $$ $p^{*}=(\ eg p)+E$
2. $p\\rightarrow q=\ eg p+p\\&q$

第三章 关系和函数

练习3.1

1. \\[\\left[ \\begin{matrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 2 & 3 \\end{matrix} \\right] \\] 2. 偏序集：
$(\\{1,2,3\\},\\leq ),\\ \\ (\\{1,2,3,4\\},\\leq ),\\ \\ (\\mathbb{Z},|)$

练习3.4

1. a. $f:A\\rightarrow A$为双射。（当$f(x_{1})=f(x_{2})\\Rightarrow x_{1}=x_{2}$；对于任意$y\\in A$，均有$x\\in A$，使得$f(x)=y$）
b. $g:A\\rightarrow A$为满射，但非单射。（即存在$a_{1},a_{2}\\in A$，满足$g(a_{1})=g(a_{2})$，但$a_{1}\ eq a_{2}$）
c. $h:A\\rightarrow B$为单射，但非满射。（即存在$b\\in B$，无法找到$a \\in A$，使得$h(a)=b$）
2. 所有双射函数$f(x)=ax+b$（其中$a,b\\in\\mathbb{R}$且$a\ eq0$）构成函数集$B$。$B$关于函数叠加与函数乘法构成一个群。